Максимизация дальности полета для упрощенной модели летательного аппарата

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Рассматривается задача максимизации дальности полета для упрощенной модели летательного аппарата с учетом влияния количества топлива на динамику центра масс. Предполагается, что движение происходит в вертикальной плоскости под действием однородных сил тяжести и сопротивления среды. Кроме того, имеются активная сила тяги и возможность изменять угол наклона траектории. Эти параметры приняты в качестве управлений. Построена область в пространстве исходных переменных, для которой решена задача оптимального синтеза. Показано, что в этой области тяга может быть максимальной, нулевой или особой. Установлено количество и порядок следования участков траектории с соответствующей тягой.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Е. В. Малых

МГУ им. М.В. Ломоносова

Автор, ответственный за переписку.
Email: wyvling@gmail.com
Россия, Москва

О. Ю. Черкасов

МГУ им. М.В. Ломоносова; Университет МГУ-ППИ

Email: oyuche@yandex.ru
Россия, Москва; Шэньчжэнь, Китай

Список литературы

  1. Goldstine H.H. A History of the Calculus of Variations from the 17 Th Through the 19 Th Century, Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. V.5. New York-Heidelberg-Berlin, Springer-Verlag, 1980. P. 410.
  2. Ashby N., Britten W. E., Love W. F., Wyss W. Brachistochrone with Coulomb Friction // Amer. J. Phys. 1975. V. 43. № 10. P. 902–905.
  3. Гершман М.Д., Нагаев Р. Ф. О фрикционной брахистохроне // МТТ 1976. № 4. С. 85–88.
  4. Lipp S.C. Brachistochrone with Coulomb Friction // SIAM J. Control Optim. 1997. V. 35. № 2. P. 562–584.
  5. Van der Heijden A.M.A., Diepstraten J.D. On the Brachistochrone with Dry Friction // Intern. J. Non-Linear Mech. 1975. V. 10. № 2. P. 97–112.
  6. Šalinić S. Contribution to the Brachistochrone Problem with Coulomb Friction // Acta Mech. 2009. V. 208. P. 97–115.
  7. Sumbatov A.S. Brachistochrone with Coulomb friction as the Solution of an Isoperimetrical Variational Problem // Intern. J. Non–Linear Mech. 2017. V. 88. P. 135–141.
  8. Hayen J.C. Brachistochrone with Coulomb Friction // Int. J. Non–Linear Mech. 2005. V. 40. P. 1057–1075.
  9. Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2010. № 5. С. 41–52. https://doi.org/10.1134/S1064230710050060
  10. Vratanar B., Saje M. On the Analytical Solution of the Brachistochrone Problem in a Non-conservative Field // Intern. J. Non-Linear Mechanics. 1998. V. 33. № 3. P. 489–505.
  11. Зароднюк А.В., Черкасов О.Ю. Качественный анализ оптимальных траекторий движения материальной точки в сопротивляющейся среде и задача о брахистохроне // Изв. РАН. ТиСУ. 2015. № 1. С. 41–49.
  12. Šalinić S., Obradović A., Mitrović Z., Rusov S. Brachistochrone with Limited Reaction of Constraint in an Arbitrary Force Field // Nonlinear Dynamics. 2012. V. 69. P. 211–222.
  13. Lemak S.S., Belousova M.D. The Brachistochrone Problem with Constraints on the Curvature of the Trajectory // IFAC PapersOnLine. Moscow. V. 54. P. 437–442.
  14. Брайсон A., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир. 1972. С. 544.
  15. Feehery W.F. Dynamic Optimization with Path Constraints (Ph. D. Thesis) Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, 1998.
  16. Cherkasov O.Yu., Smirnova N.V. On the Brachistochrone Problem with State Constraints on the Slope Angle // Intern. J. Non-Linear Mech. 2022. V. 139.
  17. Drummond J.E., Downes G.L. The Brachistochrone with Acceleration: A Running Track // J. Optimization Theory and Applications. 1971. V. 7. № 6. P. 444–449.
  18. Вондрухов А.С., Голубев Ю.Ф. Брахистохрона с разгоняющей силой // Изв. РАН. ТиСУ. 2014. № 6. C.42–57.
  19. Зароднюк А.В., Черкасов О.Ю. О максимизации горизонтальной дальности и брахистохроне с разгоняющей силой и вязким трением // Изв. РАН. ТиСУ. 2017. № 4. С. 3–10.
  20. Smirnova N.V, Cherkasov O.Yu. Range Maximization Problem with a Penalty on Fuel Consumption in the Modified Brachistochrone Problem // Applied Mathematical Modelling. 2021. V. 91. P. 581–589. https://doi.org/10.1016/j.apm.2020.10.001
  21. Руссаловская А.В., Иванов Г.И., Иванов А.И. О брахистохроне точки переменной массы с трением и экспоненциальным законом истечения массы // Докл. АН УССР. Сер. А. 1973. C. 1024–1026.
  22. Jeremić O., Šalinić S., Obradović A., Mitrović Z. On the Brachistochrone of a Variable Mass Particle in General Force Fields // Mathematical and Computer Modelling. 2011. V. 54. P. 2900–2912.
  23. Menon P.K.A., Kelley H.J., Cliff E.M. Optimal Symmetric Flight with an Intermediate Vehicle Model // J. GUIDANCE. 1984. V. 8. № 3. P. 312–319.
  24. Indig N., Ben-Asher J.Z., Sigal E. Singular Control for Two-Dimensional Goddard Problems Under Various Trajectory Bending Laws // J. Guidance, Control and Dynamics 2018. V. 42. № 3. P. 1–15. https://doi.org/10.2514/1.G003670
  25. Indig N., Ben-Asher J.Z., Sigal E. Optimal Guidance with Additional Thrust Control for Various Flight Tasks // AIAA Guidance, Navigation and Control. Conf. Texas AIAA, 2017. P. 1737. https://doi.org/10.2514/6.2017-1737
  26. Goddard R.H. A Method of Reaching Extreme Altitudes. Washington, Smithsonian Institute Miscellaneous Collections, 1919. V. 7. P. 71. (Reprinted by American Rocket Society. 1946.)
  27. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // ПММ. 1946, Т. 10. № 2. С. 251–272.
  28. Tsien H.S., Evans R.C. Optimum Thrust Programming for a Sounding Rocket // J. American Rocket Society. 1951. V. 21. № 5. P. 99–107.
  29. Leitmann G.A. Calculus of Variations Solution of Goddard’s Problem // Astronautica Acta. 1956. V.2. № 2. P. 55–62.
  30. Seywald H., Cliff E.M. Goddard Problem in Presence of a Dynamic Pressure Limit // J. Guid. Control Dyn. 1993. V. 6. № 4. P. 776–781. https://doi.org/10.2514/3.21080
  31. Graichen K., Kugi A., Petit N., Chaplais F. Handling Constraints in Optimal Control with Saturation Functions and System Extension // Systems & Control Letters. 2010. V. 59. № 11. P. 671–679. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2010.08.003
  32. Bonnans F., Martinon P., Trélat E. Singular Arcs in the Generalized Goddard’s Problem // J. Optim Theory Appl. 2008. V. 139. P. 439–461. https://doi.org/10.1007/s10957-008-9387-1
  33. Miele A. Extremization of Linear Integrals by Green’s Theorem // Mathematics in Science and Engineering. 1962. V. 5. P. 69–98 https://doi.org/10.1016/S0076-5392(08)62091-3
  34. Tsiotras P., Kelley H.J. Goddard Problem with Constrained Time of Flight // J. Guidance, Control and Dynamics. 1992. V. 15. № 2. P. 289–296. https://doi.org/10.23919/ACC.1988.4789942
  35. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // УФН. 1957. № 1а. С. 5–32.
  36. Голубев Ю.Ф. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления и аналитической механике. Ч. 1. Метод Охоцимского-Понтрягина в теории управления // Вестн. МГУ. Сер.1. Математика, механика. 2008. № 6. С. 49–55.
  37. Cherkasov O.Y., Malykh E.V., Smirnova N.V. Brachistochrone Problem and Two-dimensional Goddard Problem // Nonlinear Dyn. 2023. V.111. P. 243–254. https://doi.org/10.1007/s11071-022-07857-x
  38. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393с.
  39. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973. 256с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Действующие силы и переменные

Скачать (8KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Поверхность особого управления

Скачать (29KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Фазовый портрет системы (4.3)

Скачать (25KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Экстремальная траектория в пространстве (θ, v, m) для v(0) = 0.4, m(0) = 2, m(T) = 1, ū = 2, T = 1.5

Скачать (25KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Экстремальная траектория в плоскости (x, y) для v(0) = 0.4, m(0) = 2, m(T) = 1, ū = 2, T = 1.5

Скачать (6KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Изменение тяги во времени (u, t)на экстремальной траектории для v(0) = 0.4, m(0) = 2, m(T) = 1, ū = 2, T = 1.5

Скачать (5KB)
Метаданные
8. Рис. 7. Экстремальная траектория в пространстве (θ, v, m) для v(0) = 0.75, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 3

Скачать (24KB)
Метаданные
9. Рис. 8. Экстремальная траектория в плоскости (x, y) для v(0) = 0.75, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 3

Скачать (7KB)
Метаданные
10. Рис. 9. Изменение тяги во времени (u, t) на экстремальной траектории для v(0) = 0.75, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 3

Скачать (6KB)
Метаданные
11. Рис. 10. Экстремальная траектория в пространстве (θ, v, m) для v(0) = 1, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 1.25

Скачать (24KB)
Метаданные
12. Рис. 11. Экстремальная траектория в плоскости (x, y) для v(0) = 1, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 1.25

Скачать (6KB)
Метаданные
13. Рис. 12. Изменение тяги во времени (u, t) на экстремальной траектории для v(0) = 1, m(0) = 2, m(T) = 1.25, ū = 2, T = 1.25

Скачать (5KB)
Метаданные
14. Рис. 13. Экстремальная траектория в пространстве (θ, v, m) для v(0) = 0.2, m(0) = 2, m(T) = 1.5, ū = 2, T = 4

Скачать (25KB)
Метаданные
15. Рис. 14. Экстремальная траектория в плоскости (x, y) для v(0) = 0.2, m(0) = 2, m(T) = 1.5, ū = 2, T = 4

Скачать (6KB)
Метаданные
16. Рис. 15. Изменение тяги во времени (u, t) на экстремальной траектории для v(0) = 0.2, m(0) = 2, m(T) = 1.5, ū = 2, T = 4

Скачать (5KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024