ОПТИМИЗАЦИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ДИНАМИЧЕСКИХ ФИЛЬТРОВ

Полный текст

Введение. Одним из перспективных направлений развития фильтровых методов спектрального анализа случайных сигналов является внедрение нестационарных узкополосных динамических фильтров (УДФ), функционирующих в переходных режимах, взамен традиционно используемых узкополосных фильтров (УПФ). Такой подход позволяет повысить точность оценки спектральной плотности мощности (СПМ) без увеличения порядка фильтра по сравнению с классическими решениями. В данной работе представлены и проанализированы алгоритмические основы построения таких фильтров, обобщенные аналитические выражения для спектрального окна и относительной дисперсии оценки СПМ, а также проанализированы принципы оптимального проектирования законов перестройки параметров УДФ – таких как коэффициент затухания, центральная частота и коэффициент передачи в полосе анализа. Особое внимание уделено развитию теоретических положений применительно к узкополосным динамическим фильтрам второго порядка (УДФВП), с целью оптимизации процессов адаптации их характеристик. Основной акцент сделан на усовершенствовании корреляционно-фильтрового подхода к спектральному анализу случайных сигналов.

Оптимизация законов перестройки характеристик УДФВП. Запишем выражение для комплексной частотной характеристики УДФВП в общем виде

,                                                                                                                     (1)

где  – функция перестройки центральной частоты  фильтра во времени;  -функция перестройки коэффициента затухания  фильтра во времени; ,  – функции перестройки во времени параметров  и  фильтра, определяющего его коэффициент передачи; индекс  указывает на перестройку характеристик фильтра во времени в полосе анализа.

Функция спектрального окна УДФВП для корреляционно-фильтрового метода спектрального анализа имеет вид [1-3]:

.                                                                                                                      (2)

Для ее определения находим вещественную часть комплексной частотной характеристики фильтра (1):

,

где .

Чтобы составляющая  была симметрична относительно частот , положим  и получим

.                                                                                           (3)

Подставляя равенство (3) в (2), имеем

.                                                                                                       (4)

Эта формула связывает функцию спектрального окна узкополосного динамического фильтра второго порядка для корреляционно-фильтрового метода спектрального анализа с его характеристиками , , .

Для определения относительной дисперсии оценки СПМ, измеряемой корреляционно-фильтровым методом с использованием УДФВП, воспользуемся формулой [1]:

.

Перейдем в этой формуле от комплексной частотной характеристики  к импульсной переходной характеристике . Используя преобразование Фурье [4, 5]

,

получаем

.                                                                                                                             (5)

При естественных для УПФ условиях  и  формулу (5) можно привести к следующему виду:

.                                                                                                              (6)

Выражение (6) связывает характеристики ,  узкополосного динамического фильтра второго порядка с относительной дисперсией оценки спектральной плотности мощности , измеряемой корреляционно-фильтровым методом.

Чтобы получить УПФ с центральной частотой , необходимо изменить центральную частоту (или частоту настройки)  элементарного УДФ по закону

,                                                                                                                            (7)

где  – половина полосы пропускания УДФ;  – функция, определяющая закон изменения во времени частоты  и удовлетворяющая граничным условиям  и .

Для упрощения дальнейших преобразований перейдем в выражениях (4) и (6) к безразмерным величинам. Введем следующие обозначения:

;                                                                                                                                              (8)

;                                                                                                                                        (9)

;                                                                                                                                        (10)

;                                                                                                                         (11)

.                                                                                                                                (12)

С учетом равенств (8)-(12) формулы (4), (6) принимают вид:

;                                                                                                                  (13)

.                                                                                             (14)

Выражения (13) и (14) являются исходными для оптимизации законов перестройки характеристик УДФВП для корреляционно-фильтрового метода спектрального анализа случайных сигналов.

Перейдем к решению задачи оптимизации.

Решение задачи оптимизации. Предположим, что коэффициент передачи УДФВП поддерживается постоянным, а его центральная частота изменяется по линейному закону. В этом случае

, ;

; ,

и формулы (13) и (14) принимают вид:

;                                                                                                                (15)

.                                                                                                                                    (16)

где ; .

В качестве оптимизации примем относительную площадь под кривой функции спектрального окна узкополосного динамического фильтра второго порядка в полосе анализа (рабочая площадь) ко всей (полной) площади под кривой ФСО. Тогда задача оптимизации формулируется так: необходимо определить закон изменения безразмерного коэффициента затухания УДФВП, обеспечивающий при заданном значении относительной дисперсии оценки спектральной плотности мощности максимум площади под кривой функции спектрального окна  фильтра в полосе анализа.

Вычислим полную площадь , заключенную под кривой ФСО, и площадь , ограниченную ФСО в рабочей полосе относительных частот . Отметим, что значение величины несколько больше единицы за счет некоторого расширения полосы пропускания  от номинальной.

Полная площадь

.

Подставляя в эту формулу выражение (15), после вычислений получаем

.                                                                                  (17)

Аналогично имеем для рабочей площади

.                                                                 (18)

Для решения задачи оптимизации использован метод неопределенных множителей Лагранжа, в соответствии с которым проведена минимизация функционала

,

где  – коэффициент Лагранжа.

Для оптимального закона изменения коэффициента затухания УДФВП во времени получено следующее выражение:

,                                                                                                          (19)

где ;  – максимальное значение коэффициента затухания  (при ); оно связано с начальным значением   коэффициента затухания  (при ) соотношением

,                                                                                                                                     (20)

где

.                                                                            (21)

Оптимальная зависимость коэффициента затухания УДФВП для корреляционно-фильтрового метода спектрального анализа приведена на рис. 1 (кривая 1), а зависимость  от  на рис. 2.

Из рис. 2 следует, что существенное различие между начальным и конечным значениями коэффициента затухания УДФВП для корреляционно-фильтрового метода анализа имеется при . Более строгий анализ показывает, что при  и даже при  для расчета параметров оптимального закона перестройки УДФВП можно пользоваться приближенной формулой, полученной из (20) с учетом равенства (21):

.

Рис. 1. Зависимость коэффициента затухания от : 1 – для оптимального закона перестройки ; 2 – для линейного закона перестройки

Рис. 1. Зависимость  от  для УДФВП

Относительная систематическая погрешность вычисления , вызываемая упрощением (20), при  составляет %, а в диапазоне  она изменяется от -1.34 до -3,6%.

Коэффициент  в формуле (18) определяется параметрами  и :

.

Таким образом, перестройка коэффициента затухания УДФВП в полосе анализа, согласно зависимости (19), обеспечивает при указанном выше значении , постоянном коэффициенте передачи и линейном сканировании центральной частоты фильтра максимальную точность аппроксимации идеального окна и заданную относительную дисперсию оценки СПМ, измеряемую корреляционно-фильтровым методом спектрального анализа случайных сигналов.

Оптимальная зависимость (19) даже для УДФВП является линейной, что осложняет ее аппаратурную реализацию в корреляционно-фильтровых анализаторах спектра. Поэтому целесообразно рассмотреть более простые законы задания коэффициента затухания УДФВП, например, линейный закон изменения и поддержания постоянного значения коэффициента затухания в полосе анализа при линейном законе изменения центральной частоты УДФВП в обоих случаях.

Линейный закон изменения и поддержания постоянного значения коэффициента затухания в полосе анализа. С учетом равенства  запишем выражение (16) в следующем виде:

.                                                                                                                                     (22)

Пусть закон изменения коэффициента затухания УДФВП описывается линейной функцией (кривая 2 на рис. 1):

.                                                                                                                   (23)

Подставив это соотношение в (22), после преобразования получим выражение для относительной дисперсии оценки СПМ

.                                                                                                                            (24)

Далее определим зависимость относительной погрешности аппроксимации функции спектрального окна УДФВП от начального значения коэффициента затухания, выразив ее через площади  и :

.                                                                                                                                   (25)

Используя (18), вычислим площадь , которая с учетом равенства (23), принимает вид

,

где .

После вычислений и подстановки полученного равенства для  в (25) имеем

.                                                                                           (26)

Эта зависимость приведена на рис. 3 (кривая 1).

Рис. 3. Зависимость погрешности аппроксимации ,  от коэффициента затухания :

1 – для линейного закона изменения коэффициента затухания; 2 – для постоянного коэффициента затухания

Из рис. 1 видно, что точность аппроксимации идеального (прямоугольного) спектрального окна реальным спектральным окном УДФВП возрастает с уменьшением начального значения коэффициента затухания .

Переходим к варианту задания постоянного значения коэффициента затухания УДФВП, то есть . В этом случае выражение (24) и (26) принимают вид:

;

.                                           (27)

Зависимость (27) приведена на рис. 3 (кривая 2). Сравнение двух зависимостей подтверждает естественный факт: использование УДФВП с линейным законом перестройки коэффициента затухания  приводит к меньшей относительной погрешности аппроксимации при измерении оценки СПМ, чем применение УДФВП с постоянным коэффициентом затухания. Для проверки полученных результатов проведено их моделирование на ПЭВМ и сравнительный анализ обоих вариантов закона изменения характеристик УДФВП применительно к корреляционно-фильтровому методу спектрального анализа.

Подставляя равенство (23) в (15) для линейного закона изменения коэффициента затухания, после вычислений получаем следующее выражение:

.                                                                                                  (28)

Два УДФВП с постоянным коэффициентом затухания  из (28) при  получаем выражение для ФСО:

.                                                                         (29)

Зависимости функций спектральных окон УДФВП  и , определяемые соответственно выражениями (28), (29) для различных значений начального коэффициента затухания , приведены на рис. 4.

Для наглядности графики функций ,  для  совмещены на рис. 5, там же приведена зависимость  для стационарного (не перестраиваемого, классического) фильтра, которая определяется выражением

.

                                                          а)                                                                   б)

Рис. 4. Зависимости функций спектрального окна УДФВП для различных значений начального коэффициента затухания : а – при линейном изменении коэффициента затухания ; б – при постоянном значении коэффициента затухания

Из сравнения графиков видно, что применение квазиоптимальных УДФВП с линейной перестройкой коэффициента затухания при одной и той же относительной дисперсии оценки СПМ позволяет получить меньшую относительную погрешность аппроксимации, чем при использовании УДФВП с постоянным коэффициентом затухания, и тем более стационарного фильтра.

Рис. 5. Зависимости функции спектральной окна узкополосных фильтров: 1 – функция спектрального окна для линейного закона перестройки центральной частоты и линейного закона изменения коэффициента затухания УДФВП; 2 – функция спектрального окна для линейного закона перестройки центральной частоты при постоянном затухании УДФВП; 3 – функция спектрального окна стационарного фильтра

Заключение. Таким образом, применение узкополосных динамических (перестраиваемых в полосе анализа) фильтров позволяет получить более высокую точность спектрального анализа по сравнению с классическими, стационарными фильтрами того же порядка.

Об авторах

Евгений Кимович Самаров

Автор, ответственный за переписку.
Email: omega511@mail.ru

Доктор технических наук, Декан факультета естественных наук

Список литературы

Дополнительные файлы